Filsafat Matematika Dan Filsafat Pendidikan Matematika

Kuliah oleh: Bp Marsigit

Kamis, 21 April 2011

Fenomena sehari-hari dulu kala peradaban manusia. Orang zaman Yunani mulai memikirkan manusia yang berasa dari kehidupan. Untuk memahami segala yang mungkin ada dan yang mungkin ada pada kehidupan mereka, mereka melakukan abstraksi dan idealisasi.

Transenden neumena terbagi menjadi dua yaitu segala sesuatu yang ada dalam pikiran manusia itu tetap dan segala sesuatu yang ada dalam pikiran manusia itu berubah. Filusuf yang beranggapan bahwa segala sesuatu yang berada dalam pikiran kita tetap adalah Permenides, sedangkan filusuf yang beranggapan bahwa segala sesuatu yang berada dalam pikiran kita berubah adalah Heraklitos.

Usur dalam pikkiran manusia terbagi menjadi: sistem, struktur dan bangunan. Bangunan atau fondamen menurut ada tidaknya titik awal terbagi menjadi dua. Aliran filsafat yang segala sesuatu berawal dari sesuatu yang jelas disebut fondamentalism, sedangkan aliran filsafat yang menganggap segala sesuatu tidak memiliki awal disebut intuisonism.

Matematika merupakan salah satu objek berfikir kita. Matematika yang berada dalam pikiran manusia bisa bersifat tunggal, dual, multi ataupun plural. Matematika bisa absolut, tetapi matematika juga bisa relatif. Untuk memahami hakekat matematika maka kita perlu berfikir ekstensif dan intensif. Berfikir dalam sedalam-dalamnya dan berfikir luas seluas-luasnya untuk menterjemahkan matematika. Hasil dari hermenetika matematika maka kita dapat mengetahui apakah sebenar-benar matematika itu, untuk apa sebenarnya matematika, bagaimana matematika, mengapa kita perlu belajar matematika, manfaat apa saja yang diberikan matematika, metode apa saja yang bisa kita gunakan dalam matematika, etik dalam matematika, estetika dalam matematika, dengan begitu kita dapat mengenal ruang lingkup dari amtematika itu sendiri, area ontologi yang mencakup hakekat dari matematika, area epistemologi yang mencakup metode dan area aksiologi yang mencakup manfaat dari matematika.

Fenomena yang terjadi di dunia ini terbagi menjadi dua, segala sesuatu terikat oleh ruang dan waktu dan segala sesuatu yang terbebas dari ruang dan waktu. Pure Matematics beranggapan bahwa segala sesuatu terbebas dari ruang dan waktu. Di dalam pure matematics terdapat fondamentalis, formalis, aksiomatis, rigor (apodiktik), tunggal, konsisten, dan pasti. Identitas dari pure matematics adalah matematika itu absolut, matematika itu tunggal dan matematika itu koheren.

Berbeda dengan pure matematics , pendidikan matematika menganggap segala sesuatu itu terikat oleh runag dan waktu. Segala sesuatu yang ada dan yang mugkin ada berada dalam ruang dan waktunya sendiri-sendiri, sebenar-benar yang ada dan yang mungkin ada di dunia ini tidak ada yang sama, karena segala yang ada dan yang mungkin ada relatif terhadap ruang dan waktu. Identitas dari pendidikan matematika adalah matematika itu kontrdiktif, matematika itu relatif, matematika itu plural, matematika itu korespondensi.

Dari gambaran diatas terlihat bahwa pure matematics dan pendidikan matematika memiliki pandangan yang berbeda terhada matematika. pure matematics kurang tepat jika diterapkan dalam matematika sekolah, karena matematika sekolah terikat oleh ruang dan waktu. Fenomena UN merupakan contoh kejanggalan dalam pendidikan matematika, karena pada UN menganggap matematika itu tunggal dan matematika itu konsisten. Dengan adanya UN merubah sistem belajar siswa dalam membagun konsep matematikanya, kareana mereka menganggap bahwa UN adalah segala-galanya sehingga mereka merasa dituntut untuk wajib lulus UN, tanpa mempedulikan apakah mereka benar-benar telah membangun konsepnya atau belum, karena dalam UN tidak menggambarkan apakah siswa telah menguasai konsepnya atau belum. Karena jenis tesnya pilihan ganda yang hanya mementingkan hasilnya tanpa mempedulikan proses mendapatkan solusinya, maka proses pembelajaran yang seharusya menekankan pada pemberian pengalaman pada siswa untuk membangun konsepya berubah menjadi seperti kurikulum pada bimbel yang hanya mementingkan rumus-rumus praktisnya, sehingga kebanyakan siswa hanya akan terjebak dalam mitos belaka. Padahal dengan sistem belajar yang menyipang dari apa yang seharusnya diberkan pada metematika sekolah seperti itu akan memperburuk pendidikan di negara kita. Maka revolusi pendidikan di negara kita benar-benar diperlukan, agar matematika yang diberikan di sekolah benar-benar menjadi logos, tidak hanya mitos belaka. Siswa benar-benar bisa memiliki pengalaman untuk membangun konsepnya.

Realistik pendidikan matematika seperti gunung es. Pada matematika sekolah siswa belajara dari hal-hal yang bersifat umum kemudian barulah dibawa kedalam bentuk khususnya, mengenal simbol-simbolnya barulah mengenal variabel-variabel. Maka pada permulaan belajarmereka membutuhkan alat peraga karena dimensi matematika sekolah berasal dari benda konkrit, skema, material selanjutnya adalah formal. Belajar matematika dimulai dari benda-benda konkrit, pada tahap ini biasanya ditepkan pada matematika di SD. Tingkatan diatasnya adalah belajar matematika dari skema, pada tingkatan ini biasanya diberikan pada siswa SD yang telah menguasai tahap sebelumnya dan pada siswa SMP. Tingkatan selanjutnya adalah belajar matematika dari dari meterial, biasanya pada siswa SMA dan sebagian siswa SMP yang telah menguasai tahap sebelumnya. Sedangkan matematika absolut adalah tingkatan matematika yang tertinggi yang diterapkan pada sebagian siswa SMA yang telah menguasai tahap sebelumnya dan pada mahasiswa perguruan tinggi.

Untuk mengetahui hakekat dari segala sesuatu hal yang harus kita lakukan adalah dengan meletakkan kesadaran kita didepan hal yang ingin kita ketahui hakekatnya. Misalnya hakekat bilangan 2, hakekat bilangan 2 itu bisa sebelum, bisa sesudah. 2 itu sebelum 3 dan 2 itu sesudah 1. 2 bisa banyak bisa sedikit, 2 lebih banyak dari 1 dan 2 lebih sedikit dari 10. 2 itu angka yang spesial karena 2 itu tanggal lahir ibu saya. 2 itu sakral karena banyaknya rakaat dalam shalat subuh itu 2, 2 itu orang tua saya, 2 itu jumlah saudara laki-laki saya, begitu luas hakekat 2 itu. Dalam matematika bilangan 2 itu merupakan sebuah potensi, begitu pula dengan 3. Dari kumpulan potensi-potensi kita bisa melakukan sebuah proses dengan mengenai suatu oprasi pada potensi, misalnya 2+3, 2*3, 2/3, dsb. Dengan melakukan sebuah proses kita bisa mendapatkan sebuah hasil, misalnya 2+3=5. Contoh yang lain dalam segitiga siku-siku kita mengenal ketiga sisinya, misal sisi miringnya kita beri nama sisi c dan kedua sisi penyikunya masing-masing kita beri nama sisi a dan sisi b, maka a,b dan c merupakan potensi, sedangkan prosesnya adalah dengan mengkuadratkannya, sehingga kita bisa memperoleh hasil c²=a²+b².

Belajar Menterjemahkan

Kuliah oleh Bapak Marsigit

Kamis, 7 April 2011

Segala yang ada dan yang mungkin ada berada dalam ruang dan waktu yang berbeda. Objek berfikir kita yang berada diluar pikiran kita juga berada dalam ruang dan waktu yang berbeda. Begitu pula bumi yang kita tempati, bumi bergerak didalam ruang dan waktu.

Filsafat adalah olah pikir. Berhenti berfikir adalah suatu hal yang berbahaya karena ketika kita berhenti berfikir sebenar-benarnya kita terjebak oleh mitos. Maka kita harus senantiasa berfikir kritis terhadap segala yang ada dan yang mungkin ada. Dan didalam hidup kita hendaknya menggunakan prinsip hermeneutika, menterjemahkan dan diterjemahkan. Menterjemahkan berarti kita berfikir kritis (mencari ilmu), sedangkan diterjemahkan berarti ikhlas.

Refleksi adalah tingkatan berfikir yang paling tinggi. Misalnya kita melakukan abstraksi untuk menterjemahkan bumi, karena bumi itu bergerak dalam ruang dan waktu. Hasil dari kita mengabstraksikan bumi bisa saja sebuah titik. Dengan satu titik dapat mewakili bumi. Titik merupakan objek berfikir kita (berada diluar). Titik yang berada didalam ruang dan waktu memiliki potensi dan fakta.

Misalnya titik diberikan kesadaran, maka sebuah titik itu bisa memiliki makna. Sebuah titik bisa mewakili segala sesuatu. Titik bisa mewakili gunung, titik bisa mewakili suatu negara, titik bisa mewakili sebuah provinsi, titik bisa mewakili sebuah kota, titik bisa mewakili sebuah toko, titik bisa mewakili sebuah masjid, titik bisa mewakili sebuah sekolah, titik bisa mewakili seorang guru, titik bisa mewakili seorang murid, titik bisa mewakili seorang penjaga sekolah, dan masih banyak hal yang bisa dimaknai oleh sebuah titik.

Untuk memahami dunia titik diberikan abstraksi maka akan berupa fakta atau vitalitasnya. Sebuah titik diberi abstraksi dapat menjadi sebuah lingkaran, titik bisa menjadi sebuah segitiga, titik bisa menjadi persegi, titik bisa menjadi sebuah belah ketupat, titik bisa menjadi sebuah layang-layang, titik bisa menjadi sebuah kubus, titik bisa menjadi sebuah balok, titik bisa menjadi sebuah limas, titik bisa menjadi sebuah kerucut, titik bisa menjadi sebuah bola, titik juga bisa menjadi spiral dan dunia berada didalam spiral.

Untuk menterjemahkan dunia diperlukan analogi. Segala konsep yang telah kita pelajari yang berada dalam pikiran kita hanyalah setengah dari dunia dan setengah yang lainnya adalah fakta. Misalnya konsep kurva normal. Kita dapat menterjemahkan kurva normal dalam kehidupan nyata sebagai gejala alam yang terjadi di masyarakat. Dalam kurva normal ada standard deviasi (penyimpangan), sedangkan dalam kahidupan nyata kita menterjemahkannya sebagai masalah yang ada didalam masyarakat. Didalam kurva normal kita mengenal garis x=o, dalam kekhidupan nyata kita menterjemahkannya sebagai orang yang bahagia hidupnya, tidak menyimpang dari norma dan adat istiadat yang ada. Dalam kurva normal ada tanda keputusan, maka dalam kehidupan nyata ada ruwatan. Menurut orang jawa orang yang bahagia hidupnya adalah orang yang melaksanakan adat-istiadat sebagaimana mestinya dan berperilaku seperti masyarakat pada umumnya, orang yang menyimpang dari kebiasaan masyarakat pada umumnya perlu diruwat agar bisa menjadi orang yang lebih baik lagi. Diruwat bukan berarti harus melakukan tatacara adat seperti yang dilakukan para leluhur, tetapi lebih kepada memberikan penjelasan.

Balajar filasafat itu memahami penjelasan. Didalam pikiran kita terdapat empat macam kategori, yaitu kuantitatif, kualitatif, kategori dan relasi. Ada dua hal didalam pikiran kita, yaitu logika dan pengalaman. Segala sesuatu yang ada didalam pikiran kita dapat kita abstaksikan menjadi sebuah titik yang bisa menjadi berbagai macam grafik. Penjelasan diatas barulah sebuah contoh bentuk kurva, masih banyak lagi kurva yang dapat kita bentuk dan memiliki berbagai makna. Hasil dari kita menterjemahkan segala sesuatu yang ada didalam pikiran kita ialah konteks.

Seperti yang pada penjelasan diatas bahwa konsep yang kita pelajari hanyalah setengah dari dunia, maka untuk memahami dunia sepenuhnya kita harus menterjemahkan konsep yang telah kita pelajari dalam kehidupan nyata, sehingga kita dapat memperoleh logos. Kalau kita tidak berusaha untuk menterjemahkannya maka kita hanya akan terjebak di dalam mitos belaka. Jarak mitos dan logos sangatlah kecil, jabakan mitos selalu mengancam logos, maka kita harus senantiasa berfikir kritis agar terbebas dari jebakan mitos.

My small research

Most junior high school students think mathematics is the most difficult lessons. They tend to prefer to learn other subjects in the comparative study mathematics. They learn mathematics considers only makes them dizzy with the formula-the formula is complicated. They also considered the formula too much given, they do not quite understand the previous formula, but was given a new formula is more complicated, because so many formulas that they had been increasingly reluctant to start learning. When given the task by their teachers prefer cheating friends than doing the job themselves.
Seventh grade math class consisting of junior integer, fraction, algebra and application, one-variable linear equation, linear inequality and 1 variable ratio

In small research I took respondents my brother Muhammad Fathoni Nurrohman. He is students of the junior high N 2 KARANGANYAR RSBI class. In grades last semester, he had scored 88. And on the mathematics test which given RSBI provincial education office and central java math score of 93. In the first semester Mathematics subjects that he received yesterday consists of an integer, fraction, algebra and application, one-variable linear equation, linear inequalities with one variable and comparison. According to the last semester of the most difficult chapter is a comparison.

In this research I want to identify why he did not master the chapter comparisons. The purpose of this research is to know how to think she and her understanding of the extent to which the comparison. To find out we need to know mathematical thinking. According to mathematical thinking katagiri has three parts of this. The first is Mathematical Attitude. We must suit our attitude in mathematics attitude to get it .

In this study I provide a few questions to see how understanding he was on the comparison.
Problem one: find the value of at equation
(x-3)=(x+2)/6
The first problem in doing this, he worked with the methods of commutative and distributive, so he managed to find the value of x in equation
Answer:
6(x-3)=x+2
6x-18=x+2
6x-x=2+18
5x=20
X=4

Problem two:
A project finish approximate 25 days when the project will be build 12 persons. Done after 15 days, stopped 4 days. The project must be finished at 25 days, so how much added many person?
Answer:
In his work he wrote
time that should be done = 25 days
Time left = 21 days
Workers start = 12
Workers end = 21/25 *12

He stopped working because the answer is fractional, whereas the number of workers cannot be fraction. In working on this second question, he still difficulties in mathematics realistic. so that the necessary understanding about the practice, in order to better understand the problems the application of the comparison.

The power of category and networking

Kant(1771) said that our mind consists of intense, idealism, abstraction, and epoche. The source of intense is awareness. There isn’t something perfect in the world, so we only assume that something is perfect. Assume something perfect is called idealism. When we learn about something we must not learn all characteristics of this object,we only learn some characteristics of this object. When we learn about a cube, we must not learn about the color, the material and the age, but we only learn about the shape and the size. Learning about important characteristic is called abstraction. Epoche consists of characteristic which is not important.

When we think about something, we must categorize the characteristic of the object. What is characteristic concluded abstraction? And, what is characteristic concluded aphoce? By category we can easier learn about the object.
There are phenomena and neumena . phenomena is something which realistic. something which unrealistic is called neumena.

There are two strategy to learn mathematics bottom up and top down. Study form bottom is called bottom up. Study from top to bottom or study from theories by read references from journal ,book or essay is called top down.
There are three learn system routine, intensive and extensive. Routine is learn by schedule. Learning from general object to special object is called intensive. Extensive is opposite intensive, so extensive is learn from special object to general object.

The nature of school mathematics is pattern, problem solving, investigation and communication. The instrument is observation, question, analysis than conclusion.

How to uncover the psychological phenomena

An event which is not understood is called traumatic. Let you give some money for your mother, but you don’t tell her what your reason, so you can make your mother feel traumatic. When a mathematics teacher gives some formula, but he doesn’t explain his students, the students will be traumatic. In politic, traumatic is called authority. A person who can’t explain her/his reason do something is called authority. But in philosophy, traumatic can be accident. So we must make communication to decrease traumatic. The component of communication is sender, constant and receiver. Sender is people who send messages. Constant is messages. Receiver is people who receive the messages. Effective communication is dynamic communication. Effective communication must be flexible and contextual. Starting from sensation will be apperception, then apperception will be readiness, and readiness will be awareness. Some sensation can make a perception and some perception can make a concept. There are two kinds of concept, a-priori concept and empirical concept. A-priori concept contain of assumption, pure sciences, definition, axiom, theorem and concept. Assumption is undefined term. Pure sciences are arranged for senior high school and students which level highest. The world is traumatic, so don’t be afraid to solve traumatic.

Limit tolerance can be measured and measure can be compared. So it will be characteristic of phenomena. Characteristics of phenomena consist of quantity (universal, partial, singular), quality, category, and relation (subject, predicate). Theory of mind says that mathematics is student’s mind.

Structure of teaching: introduction, transfer knowledge process and closing rework. The schema of interaction is classical, group discussion, and individual. The schema of competencies achievement is the nature student and the nature subject. The natures of student learn mathematic need motivation and application, individual, need collaboration, and learn in context. The nature of school mathematic is pattern and relation, problem solving, investigation, and communication.

Mathematics Thinking and scientific work

The definition of Mathematics from some lecture:
•mathematics is problem solving
•mathematics is investigation
•mathematics is creation
•mathematics mean of communication
pure mathematics is formal mathematics. The characteristic of formal mathematics is axiomatic, axiomatic mathematics different mathematic.
There are some definition of deduction mathematics is concept, definition, theorem, proof, axiom, procedure to proof theorem.
To starting point mathematics is system we should have assumes. The assumes can be a concept or definition of formal mathematics. The formal mathematics have base axiom, theorem and definition. Before definition you have clear picture or concept of object mathematics. Object mathematics can be your main or idea from the possibility object meta mathematics.
How to get mathematics object from the object concert:
1.idealism
idealism is assume that something is perfect, but perfect is God’s. We assume that something is sharp, but truly there is nothing which is sharp perfectly. We assume that line is straight. But truly there isn’t a perfect straight line.
2.Abstraction
A concert object have a lot of characteristic. In mathematics we just learn a few of the characteristic. Let : to learn about plane, we just learn about the shape and the size, to learn number, we just learn about the value. Mathematics is easy because just learn a few of the characteristic.


- Characteristic of mathematic thinking
1.Consistent
same with the first formula
2.Logic
We can know about the difference of big and small, relationship, mathematic separation or arithmetic, if than statement, the table of proof, how to get conclusion (premise), thesis, antithesis, hypothesis, let, etc.
- Scientific work
Example: report, proposal, text book, etc.
The characteristic of scientific work:
1.objective
2.have criteria or standard.

The characteristic paper:
1.abstract
2.recommendation
3.free from plagiarism
4.reference

exercise

exercise I

1.we will proof that square root of two is irrational number

• square root of two is irrational number because two is not perfect square number.
• So two is irrational number.

2. we will show that the sum of angels of triangle is equal one hundred and eighty.36

• Draw a triangle between two parallel line which one of triangle side coincide in one of the parallel line. Label your triangle using ABC. The vertex of triangle is A.
• Let: angle B is interior angle which the arm is one of the parallel line and the other arm is triangle side. Angle A exterior angle of the triangle top. Angle B and angle A are called alternate interior angle, so angle B and angle A have the same degree measurement.
• Angle C is the other interior angle. So angle C and the other exterior angle of the triangle top are called alternate interior angle.
• So the sum of angle A and two exterior angle of the triangle top is one hundred and eighty degree measurement because angle A and two exterior angle are supplementary angles.

3. we will explain how to get phi

• draw a circle with radius one centimeters. Put string and place in circle.
• Find the length of string
• The length of string is circumference of a circle
• We know that circumference of a circle is two times phi times radius,
• We have number of circumference of a circle with radius one centimeter, so we can find phi.
• Phi equal perimeter over two times radius
• Substitution the perimeter and the radius, so we get phi.

4. we will find the area of region bounded by the graph of y equal x square and y equal x plus two.

• We find the intersect of two graph by find x from equation x square equal x plus two. And than add two side with negative x minus two. So we get x square minus x minus two equal zero.
• Than we can find the factor. The factor is x minus two in bracket times x plus one in bracket equal zero. So we get x equal two and x equal negative one.
• The area of region bounded by the graph is define integral over boundary negative one and upper boundary two of x plus two minus x square dx.
• The area equal open square bracket a half times x square plus two times x minus one third times x cubeb close square bracket from x equal negative one to x equal two.
• The area equal open bracket a half times two square plus two times two minus one third times two cubeb close bracket minus open bracket a half times negative one square plus two times negative one plus one third times negative one cubeb close bracket.
• The area equal two plus four minus eight third in bracket minus a half minus one minus one third in bracket.
• So the area equal four and one sixth.

5. we will find the intersection point between the circle x square plus y square equal twenty and y equal x plus one.

• Substitution y equal x plus one to the circle x square plus y square equal twenty
• We get x square plus open bracket x plus one close bracket square equal twenty
• Than find the equation, x square plus x square plus two times x plus one equal twenty.
• Add two side with negative twenty, so two times x square plus two times x minus nineteen equal zero.
• Than find the value of x with ABC formula, first x or second x equal negative b plus or minus square root of open bracket b square minus four times a times c close bracket all over two times a
• First x or second x equal negative two plus or minus square root of two square minus four times two times negative nineteen in bracket all over two times two
• First x or second x equal negative two plus or minus square root of one hundred fifty six all over four
• Square root of one hundred fifty six equal two times square root of thirty nine, so first x or second x equal negative two plus or minus two times square root of thirty nine all over four.
• So first x equal negative one plus square root of thirty nine all over two and second x equal negative one minus square root of thirty nine all over two.

Exercise II

A.Triangle
- Definition : triangle is plane figure with three straight sides.
- Pythagorean theorem,” the square on the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of the square on the other two sides”.
- On the basis of size of triangles, there are three types of triangles:
1. Equilateral triangle
An equilateral triangle is one with all sides equal in length
2. Isosceles triangle
An isosceles triangles is a triangle with two sides equal in length.
3. Scalene triangle
A scalene triangle is a triangle with no sides equal in length.

• On the basis of the measures of the angles, there are three types of triangle:

1.Obtuse triangle
An obtuse triangle is a triangle which has one obtuse angle and two acute angles.
2.Acute triangle
An acute triangle is a triangle which all of angle is acute angles.
3.Right triangle
A right triangle is a triangle which has one right angle and two acute angle.
- The sum of angels of triangle is equal one hundred and eighty.
- the area of triangle is a half times the length of base times the height.
Problem solves:
1.We have right triangle with hypotenuse seventeen centimeters and height fifteen centimeters.Find the area of right triangle!
Solution:
•According to Pythagorean theorem, the square on the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of the square on the other two sides.
•So we can find the length of base. The length of base is square root of open bracket hypotenuse square minus height square close bracket.
•The length of base equal square root of seventeen square minus fifteen square in bracket. Seventeen square equal two hundred and eighty nine. And fifteen square equal two hundred and twenty five.
•So the length of base is square root of two hundred and eighty nine minus two hundred and twenty five in bracket.
•The length of base equal square root of sixty four. Square root of sixty four equal eight.
•So the length of base is eight.
•the area of triangle is a half times the length of base times the height.
•The area equal a half times eight times fifteen
•a half times eight times fifteen equal sixty
•so the area of square triangle is sixty.
2.Find the perimeter of triangle in number one
Solution:
•The perimeter of triangle is the sum of all sides.
•The perimeter of triangle equal seventeen plus fifteen plus eight
•seventeen plus fifteen plus eight equal forty
•so the perimeter of triangle is forty.

B.Parabola
•Definition : a parabola is the set of point in the plane that are equidistant from a point (the focus) and a line (the direction)
•We can draw parabola graph from square equation
•How to draw parabola graph??
-First find the x intercept of curve, we can find the x intercept of curve when the value of y is zero so the equation equal zero. Than we calculate the factor of the equation, if we can not find the factor, we can use ABC formula. ABC formula,” first x or second x equal negative b plus or minus square root of open bracket b square minus four times a times c close bracket all over two times a. so we can find the x intercept of curve.
-Than find y intercept of curve, we can find the y intercept of curve when the value of x is zero. Than substitution the value of x in the equation so w can find the y intercept of curve.
-We also find point of the top. Let point of the top is (x,y). Value of x is negative b over two times a and value of y equal b square minus four a times c all over negative four times a in bracket.
-Than draw the x intercept of curve, y intercept of curve and point of the top, and draw curve which contain the points.
•Characteristic of parabola:
Let: the equation is a times x square plus b times x plus c
-Above open parabola, when the value of a ( coefficient of x square) is negative.
-Bottom open parabola, when the value of a (coefficient of x square) is positive.

C.Exponent equation
•exponent equation is equation which the base or the power contain x variable.
•let: a to the m, a is the base and m is the power
•the formula of exponent equation:
-if the value of the base more than zero and m,n is rational number.
a.a to the m times a to the n equal a to the m plus n in bracket.
Example: calculate four to the six times four to the three !
four to the six times four to the equal four to the six plus three in bracket, so the solution is four to the nine
b.a to the m over a to the n equal a to the m minus b in bracket
example: calculate seven to the eight over seven to the two!
seven to the eight over seven to the two equal seven to the eight minus two in bracket, so the solution is seven to the six
c.a to the m in bracket to the n equal a to the m times n in bracket.
Example: calculate three to the four in bracket to the three!
three to the four in bracket to the three equal three to the four times three. So the solution is three to the twelve.
d. a times b in bracket to the m equal a to the m times b to the m
e. a over b in bracket to the m equal a to the m over b to the m
f. if a not equal zero than a to the zero equal one
g. if a more than zero and m is rational number than a to the negative m equal one over a to the m
h. if m,n is integer, n more than one and m over n is rational number, than a to the over n in bracket equal n-th root of a to the m.
•thorem:
1. a to the f(x) equal one
if a more than zero, a not equal one and a to the f(x) equal one, than f(x) equal zero
example: find the value of x in equation three to the open bracket x square plus three times x minus ten close bracket equal one!
Answer: if three to the open bracket x square plus three times x minus ten close bracket equal one, so x square plus three times x minus ten equal zero. The factor of x square plus three times x minus ten equal zero is x plus fife in bracket times x minus two in bracket. we get x plus fife equal zero, so the value of x is negative fife. And we get x minus two equal zero, so the value of x is two. The solution x equal fife or x equal two.
2.A to the f(x) equal a to the p
If a more than zero, a not equal one and a to the f(x) equal a to the p, than f(x) equal p
Example: find the value of x in equation: two to the x square minus fife times x in bracket equal two to the six.
Answer: two to the x square minus fife times x in bracket equal two to the six mean x square minus fife times x equal six. Than add two side by negative six. Than we get equation x square minus fife times x minus six equal zero. Factor of the equation is x minus six in bracket times x plus one in bracket. So the value of x is six or negative one.
3.A to the f(x) equal a to the g(x)
If a more than zero, a not equal one and a to the f(x) equal a to the g(x), than f(x) equal g(x)